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測量誤差的值點列圖和統計直方圖和概率密度分布圖

更新時間:2014-10-13      瀏覽次數:2488

測量誤差的統計特性

1.測量值點列圖

在相同測量條件下,對某鋼球工件的直徑測量150次,得到一個測量樣本(x1,x2,……,x150 ),以測量序數i為橫坐標,以測得值xi或其誤差為縱坐標,畫出測量值點列圖(measurement point plot),如圖2 - 1所示。由該測量值點列圖可見,xi出現后,不能預見xi+1出現的大小和方向,但就樣本數據的分布規律而言具 有如下特征:

①數據集中在算術平均值7.335附近,如不存在系統誤差,它接近約定真值;

②數據分布在7.085?7.585之間,即可確定測量值分布及其誤差分布的大致范圍;

③正負誤差的數目大致相同;

④誤差的總和大致趨于零。

以上所述的四個統計特征,分別稱之為單峰性、有界性、對稱性和抵償性。這些特征都反映了隨機誤差的統計規律,其中誤差的抵償性是zui本質的統計特征,它常作為判定誤差是否具有隨機性的標志。

由測量數據的測量值點列圖可以粗略看出測量誤差的統計特性,如果利用測量數據作出統計直方圖,就會更形象地看出其概率特征。

2.統計直方圖和概率密度分布圖

將上述測量樣本按數據的大小劃分為11組,組距△x= 0.05mm,用每組出現的數據個數 (稱為頻數mi)除以樣本數n,得頻率,再除以組距△x,得頻率密度。表2-1中列出了子區間的中心值xi及其頻數mi和頻率fi。

表2-1 測量鋼球工件直徑的統計數據

子區間號

子區間中心值/mm

頻數mi/個

頻率fi/%

累積頻率Fi/%

觀測值工xi

殘余誤差ui

1

7.085

-0.25

3

2.00

2.00

2

7.135

-0.20

7

4.67

6.67

3

7.185

-0.15

15

10.00

16.67

4

7.235

-0.10

18

12.0

28.67

5

7.285

-0.05

28

18.66

47.33

6

7.335

0

29

19.33

66.66

7

7.385

+0.05

24

16.00

82.66

8

7.435

+0.10

12

8.00

90.66

9

7.485

+0.15

10

6.67

97.33

10

7.535

+0.20

2

1.33

98.66

11

7.585

+0.25

2

1.33

99.99

 

 

 

n=150

 

 

根據表2 - 1中數據,可按下列步驟作出統計直方圖(statistical histogram),如圖2-2所示:

①以xi為橫坐標,為縱坐標,建立坐標系。

②在橫坐標上劃出等分的子區間。本例的子區間數目為11,各子區間的中心值為xi,各子區間的間距△x = 0.05 mm。

③劃出各子區間的直方柱。如觀測值落入2號子區間(7. 11mm,7. 16mm)的頻數為7, 頻率為 7/150=4. 67%。

④把各直方柱頂部中點用直線連接起來,便得到一條由許多折線連接起來的曲線。當測量樣本數n無限增加,分組間隔△x趨于零時,圖2-2中直方圖折線就變成一條光滑的曲線,即測量總體的概率(分布)密度曲線,記為f(x)。這就是用實驗方法由樣本數據得到的概率密度分巧圖(probability density distribution plot)。

概率密度曲線f(x)完好地描述了該測量(值)總體分布及其誤差分布的統計規律„由概率論易知,f(x)具有下列兩個性質:

式中:a≤x≤b—置信區間;

P(a≤x≤b)—x出現在[a,b]內的概率,也稱為置信概率(或置信水平),簡記為符號P; a——顯著性水平(又稱顯著度或危險率)。

上述各量的幾何意義如圖2 - 3所示。

對于不同的被測量,其概率密度分布函數的形式可能是不同的。在測量不確定度評定中, 經常提到的分布有兩點分布、反正弦分布、矩形分布、三角分布、梯形分布、正態分布以及投影分布等。上述對測量總體及其分布的實驗統計方法,在實際工作中經常使用。在對精密儀器 的誤差分析與計量檢定工作中,為了使實驗統計方法具有足夠的可靠程度,在繪制統計直方圖時應注意以下問題。

(1) 樣本大小

樣本大小即重復測量次數n。顯然n越大,樣本呈現的分布規律越穩定。但n太大,不僅資源浪費過大,而且難以保證多次測量都滿足相同的測量條件。實踐表明,在僅要確定誤差的分布范圍時,可取n=50?200;若要確定誤差分布規律時,則可取n=200~1000

(2)子區間的間距△x

子區間間距的下限應大于儀器分辨力,并使子區間有適當的數目。子區間數目隨n的增大而增加,一般,子區間個數的選取方法大致如下:

•當n = 50?100時,子區間的個數是6?10;

•當n = 100?200時,子區間的個數是9?12;

•當n = 200?500時,子區間的個數是12?17;

•當n>500時,子區間的個數是20。

也可利用下列兩個公式之一來計算分組數m或間距△x,即

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